题目

源地址：

http://poj.org/problem?id=1006

理解

基本上就是孙子兵法，求那个最小的公倍数。记得华罗庚先生也写过同余式的相关著作。恩，找出规律之后，轻松水掉。

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中国剩余定理（离开校网之后再也连不上wiki了，只好引用百度百科的资料）

在中国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。” 这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在中国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。 《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N=70×2+21×3+15×2－2×105。 这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式 N=70×R1+21×R2+15×R3－P×105（p是整数）。 孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性： 也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。 应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即 N≡Ri（mod ai）（i=1、2、……n）， 只需求出一组数K，使满足 1（mod ai）（i=1、2、……n）， 那么适合已给一次同余组的最小正数解是 （P是整数，M=a1×a2×……×an）， 这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。

代码

#include <stdio.h>

using namespace std;

#define P 23
#define E 28
#define I 33
#define C 21252

int main(void)
{
    int p, e, i, d;
    int x;

    int flag = 1;
    while (scanf("%d %d %d %d", &p, &e, &i, &d)&&p>=0)
    {
        p %= P;
        e %= E;
        i %= I;
        x = i;

        while (!((x - p) % P == 0 && (x - e) % E == 0))
        {
            x += I;
        }

        x -= d;
        if (x <= 0) x += C;
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", flag, x);
        flag++;
    }

    return 0;
}

更新日志

• 2014年07月06日 已AC，完成中国剩余定理资料引用。